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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia.
Passaggio 1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2
Calcola .
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.4
Semplifica.
Passaggio 1.4.1
Raccogli i termini.
Passaggio 1.4.1.1
e .
Passaggio 1.4.1.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.4.2
Riordina i termini.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.3
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Passaggio 2.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.5
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 2.2.5.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.7
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.8
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.9
Sottrai da .
Passaggio 2.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4
Semplifica.
Passaggio 2.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 2.4.2
Raccogli i termini.
Passaggio 2.4.2.1
e .
Passaggio 2.4.2.2
Somma e .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia.
Passaggio 4.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 4.1.2.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 4.1.4
Semplifica.
Passaggio 4.1.4.1
Raccogli i termini.
Passaggio 4.1.4.1.1
e .
Passaggio 4.1.4.1.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.1.4.2
Riordina i termini.
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Passaggio 5.3.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
Passaggio 5.3.2
Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.
Passaggio 5.4
Moltiplica per ciascun termine in per eliminare le frazioni.
Passaggio 5.4.1
Moltiplica ogni termine in per .
Passaggio 5.4.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.4.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.4.2.1.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 5.4.2.1.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.2.1.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.5
Risolvi l'equazione.
Passaggio 5.5.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 5.5.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 5.5.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.5.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.5.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.5.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.5.2.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 5.5.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.5.3
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 5.5.4
Semplifica .
Passaggio 5.5.4.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.4.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 5.5.5
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 5.5.5.1
Per prima cosa, usa il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 5.5.5.2
Ora, usa il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 5.5.5.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 6.2
Risolvi per .
Passaggio 6.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.2.2
Semplifica .
Passaggio 6.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 6.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 6.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 9.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 9.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Dividi per .
Passaggio 11.2.2
Somma e .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Passaggio 13.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 13.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 13.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 14
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 15
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 15.2.1
Dividi per .
Passaggio 15.2.2
Sottrai da .
Passaggio 15.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 16
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
Passaggio 17