Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali f(x)=x/(x^2+9)
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 1.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.3
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.6
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.6.1
Somma e .
Passaggio 1.2.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.5
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.6
Somma e .
Passaggio 1.7
Sottrai da .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 2.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.6
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.7
Somma e .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.4
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.4.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.4.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.5.1
Somma e .
Passaggio 2.4.5.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.4.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.5
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.1
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 2.5.3.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 2.5.3.1.3
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.3.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.3.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.3.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.4
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.4.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.4.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.2
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.4.1.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.5.3.1.4.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.4.2
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.5
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.7
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.8
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.8.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.8.1.1
Sposta .
Passaggio 2.5.3.1.8.1.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.5.3.1.8.1.3
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.8.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.8.2.1
Sposta .
Passaggio 2.5.3.1.8.2.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.5.3.1.8.2.3
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.9
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.10
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.10.1
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.10.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.5.3.1.10.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.5.3.1.10.2
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.11
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.11.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.11.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.5.3.1.12
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.12.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.12.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.1
Sposta .
Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.3
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.12.1.2
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 2.5.3.1.12.1.3
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.1
Sposta .
Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.3
Somma e .
Passaggio 2.5.3.1.12.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.12.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.3.1.12.2
Sottrai da .
Passaggio 2.5.3.1.12.3
Somma e .
Passaggio 2.5.3.2
Somma e .
Passaggio 2.5.3.3
Sottrai da .
Passaggio 2.5.4
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.4.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.4.1.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.4.1.2
Scomponi da .
Passaggio 2.5.4.1.3
Scomponi da .
Passaggio 2.5.4.1.4
Scomponi da .
Passaggio 2.5.4.1.5
Scomponi da .
Passaggio 2.5.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 2.5.4.3
Sia . Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.5.4.4
Scomponi usando il metodo AC.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.4.4.1
Considera la forma . Trova una coppia di interi il cui prodotto è e la cui formula è . In questo caso, il cui prodotto è e la cui somma è .
Passaggio 2.5.4.4.2
Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.
Passaggio 2.5.4.5
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.5.5
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.5.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.5.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.5.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.5.5.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 4.1.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.3
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.6
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.6.1
Somma e .
Passaggio 4.1.2.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.5
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 4.1.6
Somma e .
Passaggio 4.1.7
Sottrai da .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 5.3
Risolvi l'equazione per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 5.3.4
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.4.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.3.4.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 5.3.5
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.5.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 5.3.5.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 5.3.5.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.2.2
Somma e .
Passaggio 9.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.2
Sottrai da .
Passaggio 9.4
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.4.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.4.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.4.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.4.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.1.2
Somma e .
Passaggio 11.2.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.2.2
Somma e .
Passaggio 13.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.3.2
Sottrai da .
Passaggio 13.4
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 13.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.4.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.4.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.4.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 14
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 15
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.2
Somma e .
Passaggio 15.2.2
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.2.1
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.2.1.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.2.1.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.2.1.2.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.2.1.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.2.1.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 15.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 16
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un minimo locale
Passaggio 17