Calcolo Esempi

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 8$ e $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{24}{x} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.2

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{24}{x}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.6

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.7

Somma $- 24 x^{- 2}$ e $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 2.10

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $\frac{24}{x} + 12$ per $1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Passaggio 3

Per scrivere $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 7

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.3.1

$- 24$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.3

$x$ e $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.4

Sposta $24$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.5.2

Dividi $24$ per $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.7

$- 24$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.10

$- 8$ e $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.11

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Passaggio 8.3.13

Somma $- 24$ e $24$ .

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Passaggio 8.3.14

Somma $- \frac{192}{x}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Passaggio 8.3.15

Riscrivi $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ come un prodotto.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Passaggio 8.3.16

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{192}{x}$ .

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Passaggio 8.3.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Passaggio 8.3.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Passaggio 8.3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Passaggio 8.3.20

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$