Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Passaggio 9

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2})$

Passaggio 10.2

$3$ e $\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

Passaggio 10.4

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.5

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1

Scomponi $3$ da $3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 ({(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$