Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 48 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $12 x^{2} - 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} = 48$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 48$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 48$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $48$ per $12$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 24$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Sottrai $96$ da $16$ .

$f (2) = - 80 + 24$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 80$ e $24$ .

$f (2) = - 56$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $- 56$ .

$- 56$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ è $(2, - 56)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, - 56)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sottrai $96$ da $16$ .

$f (- 2) = - 80 - 24$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 80$ .

$f (- 2) = - 104$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 104$ .

$- 104$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ è $(- 2, - 104)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, - 104)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $48$ da $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 4.92$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $4.92$ .

$4.92$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $4.92$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $48$ da $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 48$ .

$- 48$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 48$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $48$ da $52.92$ .

$f'' (2.1) = 4.92$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $4.92$ .

$4.92$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $4.92$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

Passaggio 9