Calcolo Esempi

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 6$ e $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.6.4

Somma $0$ e $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $\frac{x}{x + 1}$ per $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 4

Per scrivere $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 5

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica $x + 6$ per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Passaggio 7.1.1.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 7.1.1.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Passaggio 7.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Passaggio 7.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

Passaggio 7.1.2

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.1.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.1.4.4

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.1.4.5

Riordina i termini.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ come un prodotto.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 7.2.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Passaggio 7.2.4

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Passaggio 7.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$