Calcolo Esempi

$\ln (x^{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{x}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Passaggio 2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 4

$e^{x \ln (x)}$ e $\frac{1}{x^{x}}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ per $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Passaggio 8.2.2

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$