Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 1] - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x (4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{x (4 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (4 x - 3 + 0) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $4 x - 3$ e $0$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x \cdot x + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 \cdot x - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $4 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}$