Calcolo Esempi

$(x - 1) {(x^{2} - 2 x + 5)}^{5}$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 2 x + 5$ . Allora $d u = (2 x - 2) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 2 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$2 x - 2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u^{5} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 6} u^{6} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{12} u^{6} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x + 5$ .

$\frac{1}{12} {(x^{2} - 2 x + 5)}^{6} + C$