Calcolo Esempi

${(\sqrt{x})}^{x}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

Passaggio 1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

Passaggio 2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $x^{\frac{x}{2}}$ come $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ spostando $\frac{x}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

Passaggio 3

$\frac{x}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 5.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x \ln (x)}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 8.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 8.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Passaggio 9.2.2

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$