Calcolo Esempi

$\int x^{4} \sin (x^{5}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{5}$ . Allora $d u = 5 x^{4} d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{5}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{5} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{5} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

$\frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{5}$ e $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{5} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$- \frac{\cos (x^{5})}{5} + C$

Passaggio 7

Riordina i termini.

$- \frac{1}{5} \cos (x^{5}) + C$