Calcolo Esempi

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $6 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 y'$ da $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 y'$ da $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $3 (x^{2} + y^{2})$ ciascun termine in $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $3 (x^{2} + y^{2})$ ciascun termine in $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{2} - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2.3

Scomponi $x$ da $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.6.1

Riscrivi $- (x + 2 y)$ come $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x + 2 y) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

Passaggio 7.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.2.3

Imposta $x + 2 y$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Imposta $x + 2 y$ uguale a $0$ .

$x + 2 y = 0$

Passaggio 7.2.3.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2 y$

Passaggio 7.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2 y) = 0$ vera.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

Passaggio 8.1.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

Passaggio 8.1.1.3

Moltiplica $0$ per $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

Passaggio 8.1.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

Passaggio 8.1.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

Passaggio 8.1.2.2

Somma $0$ e $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

Passaggio 8.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} - 8 = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

Passaggio 8.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y$ e $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 8.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

Passaggio 8.3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

Passaggio 8.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Passaggio 8.5

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

Passaggio 8.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

Passaggio 8.6

Imposta $y^{2} + 2 y + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Imposta $y^{2} + 2 y + 4$ uguale a $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Passaggio 8.6.2

Risolvi $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 8.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ vera.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 y$ .

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $- 2 y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.4

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

Sposta $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.1.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Somma $- 8 y^{3}$ e $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $4 y^{3}$ e $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

Passaggio 9.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{3} = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{3} = 8$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

Passaggio 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

Passaggio 9.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ come $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

Passaggio 9.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

Passaggio 9.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

Passaggio 9.4.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 9.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 9.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{5}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 9.4.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Passaggio 9.4.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Passaggio 9.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5}$ come $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 9.4.4.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 9.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 9.4.4.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 9.4.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Passaggio 9.4.4.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Passaggio 9.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.5.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ come $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Passaggio 9.4.5.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

Passaggio 10

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

Passaggio 11