Calcolo Esempi

$\int u^{2} \sqrt{u^{3} + 2} d u$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = u^{3} + 2$ . Allora $d u_{1} = 3 u^{2} d u$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = u^{2} d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = u^{3} + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $u^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3} + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{3} + 2$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} + \frac{d}{d u} [2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $2$ rispetto a $u$ è $0$ .

$3 u^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 u^{2}$ e $0$ .

$3 u^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

$\sqrt{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2}{9} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $u^{3} + 2$ .

$\frac{2}{9} {(u^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$