Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.5.2

Dividi $(B) (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Passaggio 1.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Passaggio 1.1.8

Sposta $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A + B$ con $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 2 B$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 1.3.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$