Calcolo Esempi

$\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5 - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$u_{upper} = 10 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $10$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.2

Combina.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Espandi $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.7

Moltiplica $u^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Passaggio 9

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$ e $2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.8

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.9

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{1} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.11

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{4} (18 + 6 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.13

Somma $18$ e $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.15

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1))$

Passaggio 10.2.17

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2))$

Passaggio 10.2.18

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}))$

Passaggio 10.2.19

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}))$

Passaggio 10.2.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 2 \cdot 3}{3})$

Passaggio 10.2.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.21.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 6}{3})$

Passaggio 10.2.21.2

Somma $2$ e $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{8}{3})$

Passaggio 10.2.22

Per scrivere $24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Passaggio 10.2.23

$24$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Passaggio 10.2.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{24 \cdot 3 - 8}{3}$

Passaggio 10.2.25

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.25.1

Moltiplica $24$ per $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{72 - 8}{3}$

Passaggio 10.2.25.2

Sottrai $8$ da $72$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Passaggio 10.2.26

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.27

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{64}{12}$

Passaggio 10.2.28

Elimina il fattore comune di $64$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.28.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$\frac{4 (16)}{12}$

Passaggio 10.2.28.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.28.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.28.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.28.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{3}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{16}{3}$

Forma decimale:

$5.\overline{3}$

Forma numero misto:

$5 \frac{1}{3}$

Passaggio 12