Calcolo Esempi

$\int \ln (5 x - 4) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (5 x - 4)$ e $d v = 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{5}{5 x - 4}$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

Passaggio 5

Dividi $x$ per $5 x - 4$ .

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Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 x$

$4$

$x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - \frac{4}{5}$

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{5}$ fuori dall'integrale.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

Passaggio 9

Sia $u = 5 x - 4$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = 5 x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $5 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 9.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 9.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 9.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 9.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 9.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 9.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 9.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

Passaggio 10.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

Passaggio 10.3

$\frac{1}{5}$ e $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{4}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x - 4$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Passaggio 16.1.2

$\frac{4}{25}$ e $\ln (| 5 x - 4 |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Passaggio 16.2

Per scrivere $\frac{x}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Passaggio 16.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $25$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 16.3.1

Moltiplica $\frac{x}{5}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Passaggio 16.3.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Passaggio 16.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Passaggio 16.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 16.5.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Passaggio 16.5.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Passaggio 16.5.3

Elimina il fattore comune.

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Passaggio 16.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Passaggio 16.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$