Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + x^{10}$ . Allora $d u = 10 x^{9} d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + x^{10}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{10}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 2

$u^{9}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{9}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{10} u^{10}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{10}$ e $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $1024$ e $10$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Passaggio 5.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

Passaggio 5.2.6

Per scrivere $\frac{512}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

Passaggio 5.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $10$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $\frac{512}{5}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

Passaggio 5.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

Passaggio 5.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $512$ per $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

Passaggio 5.2.9.2

Sottrai $1$ da $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $10$ per $10$ .

$\frac{1023}{100}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1023}{100}$

Forma decimale:

$10.23$

Forma numero misto:

$10 \frac{23}{100}$

Passaggio 7