Calcolo Esempi

$\int x \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 9

Riscrivi $\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ come $\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$