Calcolo Esempi

$\int t e^{- 6 t} d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{- 6 t}$ .

$t (- \frac{1}{6} e^{- 6 t}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 t} d t$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$e^{- 6 t}$ e $\frac{1}{6}$ .

$t (- \frac{e^{- 6 t}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 t} d t$

Passaggio 2.2

$t$ e $\frac{e^{- 6 t}}{6}$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 t} d t$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- \frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} - (- \frac{1}{6} \int e^{- 6 t} d t)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + 1 (\frac{1}{6} \int e^{- 6 t} d t)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 t} d t$

Passaggio 5

Sia $u = - 6 t$ . Allora $d u = - 6 d t$ , quindi $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - 6 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 6 t$ rispetto a $t$ è $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 6 t}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $- \frac{t e^{- 6 t}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C)$ come $- \frac{1}{6} t e^{- 6 t} - \frac{1}{36} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{6} t e^{- 6 t} - \frac{1}{36} e^{u} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$t$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} e^{- 6 t} - \frac{1}{36} e^{u} + C$

Passaggio 11.2.2

$e^{- 6 t}$ e $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{e^{- 6 t} t}{6} - \frac{1}{36} e^{u} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 6 t$ .

$- \frac{e^{- 6 t} t}{6} - \frac{1}{36} e^{- 6 t} + C$

Passaggio 13

$e^{- 6 t}$ e $\frac{1}{36}$ .

$- \frac{e^{- 6 t} t}{6} - \frac{e^{- 6 t}}{36} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- \frac{1}{6} e^{- 6 t} t - \frac{1}{36} e^{- 6 t} + C$