Calcolo Esempi

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{2} - 3$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$u^{7}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ come $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$