Calcolo Esempi

$\int 4 {(4 x + 3)}^{4} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int {(4 x + 3)}^{4} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 x + 3$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

$u^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int u^{4} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int u^{4} d u$ per $1$ .

$\int u^{4} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 3$ .

$\frac{1}{5} {(4 x + 3)}^{5} + C$