Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 4} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 4}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x$

Passaggio 3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $3$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$ come $- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{x^{3} \cdot 3}) + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot x^{3}}) + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{3 (3 x^{3})} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}} + C$