Calcolo Esempi

$\int x \sin (4 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (4 x)$ .

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\cos (4 x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Passaggio 6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ come $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Passaggio 10.2.2

$\cos (4 x)$ e $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $\frac{\cos (4 x) x}{4}$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$