Calcolo Esempi

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $e^{z}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{z})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

Passaggio 1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $z$ .

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $- 1 z$ come $- z$ .

$\int z e^{- z} d z$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = z$ e $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int e^{- z} d z$ per $1$ .

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

Passaggio 5

Sia $u = - z$ . Allora $d u = - d z$ , quindi $- d u = d z$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = - z$ . Trova $\frac{d u}{d z}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

Passaggio 8

Riscrivi $z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ come $- z e^{- z} - e^{u} + C$ .

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- z$ .

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$