Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2^{2} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $2 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $2 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (2 - x)$ per $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 1.1.7.5.2

Dividi $(B) (2 + x)$ per $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Passaggio 1.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Passaggio 1.1.7.7

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Passaggio 1.1.8.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 1.3.1.3

Somma $A$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $A$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = 2 A + 2 B$ con $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Somma $2 A$ e $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Passaggio 1.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $B = A$ con $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2 - x}$ .

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 2 + x$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 2 + x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = 2 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = 2 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 7.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 + x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 - x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 - x |) + C$