Calcolo Esempi

$f (x) = e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x^{2} + 3$ .

$e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)$

Passaggio 1.2.6

Somma $14 x$ e $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$ .

$14 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori in $14 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$f' (x) = 14 x e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x^{2} + 3$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$14 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x^{2} + 3$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.6

Somma $14 x$ e $0$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$14 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$14 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$14 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$14 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8.2

Sposta $14$ alla sinistra di $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$14 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{7 x^{2} + 3}$ per $1$ .

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $14$ per $14$ .

$196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 2.11.3

Riordina i termini.

$196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 2.11.4

Riordina i fattori in $196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$f'' (x) = 196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $196$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$196 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$196 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $2$ per $7$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.10

Somma $14 x$ e $0$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.1

Sposta $x$ .

$196 (x \cdot x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.11.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$196 (x^{1} x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$196 (x^{1 + 2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.11.3

Somma $1$ e $2$ .

$196 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2.12

Sposta $14$ alla sinistra di $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]))$

Passaggio 3.3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $2$ per $7$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0))$

Passaggio 3.3.8

Somma $14 x$ e $0$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x))$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $14$ per $14$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $14$ per $196$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $196$ .

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 392 (e^{7 x^{2} + 3} (x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 3.4.2.3

Somma $392 e^{7 x^{2} + 3} x$ e $196 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$f''' (x) = 2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2744$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2744 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $2$ per $7$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.10

Somma $14 x$ e $0$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.11

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.1

Sposta $x$ .

$2744 (x \cdot x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.11.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2744 (x^{1} x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2744 (x^{1 + 3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.11.3

Somma $1$ e $3$ .

$2744 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.2.12

Sposta $14$ alla sinistra di $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $588$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $588 x e^{7 x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $2$ per $7$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.10

Somma $14 x$ e $0$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.14

Somma $1$ e $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.15

Sposta $14$ alla sinistra di $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $e^{7 x^{2} + 3}$ per $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $14$ per $2744$ .

$38416 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.3.2

Moltiplica $3$ per $2744$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 (e^{7 x^{2} + 3} (x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.3.3

Moltiplica $14$ per $588$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 8232 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.3.4

Somma $8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2}$ e $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1

Sposta $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.3.4.2

Somma $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ e $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.4

Riordina i termini.

$38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 4.4.5

Riordina i fattori in $38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$f^{4} (x) = 38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$