Calcolo Esempi

x {(x - 4)}^{3}

$x {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = {(x - 4)}^{3}

$g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{3}$ e

$g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x - 4$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Poiché

$- 4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 4$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Somma

$1$ e

$0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica

${(x - 4)}^{3}$ per

$1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi

${(x - 4)}^{2}$ da

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi

${(x - 4)}^{2}$ da

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi

${(x - 4)}^{2}$ da

${(x - 4)}^{3}$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi

${(x - 4)}^{2}$ da

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sposta

$3$ alla sinistra di

$x$ .

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Passaggio 1.4.2.2

Somma

$3 x$ e

$x$ .

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi

${(x - 4)}^{2}$ come

$(x - 4) (x - 4)$ .

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.4

Espandi

$(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.5.1.2

Sposta

$- 4$ alla sinistra di

$x$ .

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.5.1.3

Moltiplica

$- 4$ per

$- 4$ .

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.5.2

Sottrai

$4 x$ da

$- 4 x$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Passaggio 1.4.6

Espandi

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.2

Moltiplica

$x^{2}$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1

Sposta

$x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.2.2

Moltiplica

$x$ per

$x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.2.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.2.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.2.3

Somma

$1$ e

$2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.3

Sposta

$- 4$ alla sinistra di

$x^{2}$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.5

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.5.1

Sposta

$x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.5.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.6

Moltiplica

$- 8$ per

$4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.7

Moltiplica

$- 4$ per

$- 8$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.8

Moltiplica

$4$ per

$16$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.7.9

Moltiplica

$16$ per

$- 4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Passaggio 1.4.8

Sottrai

$32 x^{2}$ da

$- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Passaggio 1.4.9

Somma

$32 x$ e

$64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché

$- 36$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 36 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica

$2$ per

$- 36$ .

$12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.4

Calcola

$\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché

$96$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$96 x$ rispetto a

$x$ è

$96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica

$96$ per

$1$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} [- 64]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché

$- 64$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 64$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma

$12 x^{2} - 72 x + 96$ e

$0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$12 x^{2} - 72 x + 96$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché

$12$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$12 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica

$2$ per

$12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché

$- 72$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 72 x$ rispetto a

$x$ è

$- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica

$- 72$ per

$1$ .

$24 x - 72 + \frac{d}{d x} [96]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché

$96$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$96$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$24 x - 72 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma

$24 x - 72$ e

$0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$24 x - 72$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché

$24$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$24 x$ rispetto a

$x$ è

$24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica

$24$ per

$1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché

$- 72$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 72$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$24 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma

$24$ e

$0$ .

$f^{4} (x) = 24$