Calcolo Esempi

$\int x \ln (3 + x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (3 + x)$ e $d v = x$ .

$\ln (3 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (3 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (3 + x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 3} d x)$

Passaggio 4

$x^{2}$ e $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Passaggio 5

Dividi $x^{2}$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 3 x$

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$9$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x - 9$

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$9$

Passaggio 5.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 3 + \frac{9}{x + 3} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

Passaggio 9

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Passaggio 10

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (3 + x)$ .

$\frac{\ln (3 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

Passaggio 12.2.2

$\frac{\ln (3 + x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

Passaggio 12.2.3

Per scrivere $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 12.2.4

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.2.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 12.2.8

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 12.2.9

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 12.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 12.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 12.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 12.2.9.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |))}{2} + C$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Per scrivere $9 \ln (| x + 3 |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Passaggio 14.2

$9 \ln (| x + 3 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Passaggio 14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Passaggio 14.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2})}{2} + C$

Passaggio 14.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x) - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

Passaggio 14.6

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |))) + C$