Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola $\ln (x) x$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Passaggio 4.2

Calcola $x$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$e - \ln (1) - (e - 1)$

Passaggio 5.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e - 0 - (e - 1)$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e + 0 - (e - 1)$

Passaggio 5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$e + 0 - e - - 1$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e + 0 - e + 1$

Passaggio 5.2

Somma $e$ e $0$ .

$e - e + 1$

Passaggio 5.3

Sottrai $e$ da $e$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.4

Somma $0$ e $1$ .

$1$