Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 10 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $10 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $100$ da $100 \tan^{2} (t) + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $100$ da $100 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $100$ da $100$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $100$ da $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $100 \sec^{2} (t)$ come ${(10 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $10 \sec (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $10 \sec (t)$ da $10 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (t) d t$

Passaggio 3

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{10})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$