Calcolo Esempi

$e^{\frac{x}{y}} = x - y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.5

$e^{\frac{x}{y}}$ e $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1 - y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Riordina i fattori in $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.3

Sposta $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.4

Riordina $y e^{\frac{x}{y}}$ e $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(1 - y') y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2} - y' y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y' y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riordina $y^{2}$ e $- y' y^{2}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $y' y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $y e^{\frac{x}{y}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 5.3.5

Dividi per $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ ciascun termine in $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Dividi per $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ ciascun termine in $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- y e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ .

$y' = \frac{y (y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3.2.2

Riscrivi $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ come $- e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.3.4

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.3.4.1

Riscrivi $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ come $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$