Calcolo Esempi

$\sin (x^{2} y^{2}) = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Passaggio 2.8

Semplifica.

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Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.8.2

Riordina i termini.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ ciascun termine in $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ ciascun termine in $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $\cos (x^{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})}$ a $\sec (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \sec (x^{2} y^{2}) + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3

$\frac{1}{2 x^{2} y}$ e $\sec (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.6.1

Scomponi $x$ da $- y x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.6.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.7

Elimina il fattore comune di $\cos (x^{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.3.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$