Calcolo Esempi

$x^{2} - 4 x y + y^{2} = 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x y$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y'$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $4 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x y' + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y'$ da $- 4 x y' + 2 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $- 4 x y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $2 y y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' y = - 2 x + 4 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (- 2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 (- 2 x + y)$ ciascun termine in $2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 (- 2 x + y)$ ciascun termine in $2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ .

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2 x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $4 y$ .

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x + 2 y}{- 2 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 2 y}{- 2 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (- 2 y)}{- 2 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Riscrivi $- (x - 2 y)$ come $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) + y}$

Passaggio 5.3.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Passaggio 5.3.3.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x - y)}$

Passaggio 5.3.3.2.9

Riscrivi $- (2 x - y)$ come $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

Passaggio 5.3.3.2.10

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

Passaggio 5.3.3.2.11

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$