Calcolo Esempi

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3

Moltiplica.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.5.2

Somma $2 x + x^{- 2}$ e $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Passaggio 4.7

Moltiplica $x^{2} - \frac{1}{x}$ per $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Passaggio 5

Per scrivere $x (2 x + x^{- 2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Passaggio 8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Passaggio 9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.3.1.1

Sposta $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 11.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.3

$x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 11.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Passaggio 11.3.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Passaggio 11.3.6

Somma $2 x^{3}$ e $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Passaggio 11.3.7

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 11.3.7.1

Scomponi $x$ da $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Passaggio 11.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.3.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Passaggio 11.3.7.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Passaggio 11.3.7.2.3

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Passaggio 11.3.7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Passaggio 11.3.7.2.5

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Passaggio 11.3.8

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$