Calcolo Esempi

$\log_{5} (x e^{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = x e^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{5} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$x$ e $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ .

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2.2

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Passaggio 5.2.5

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ e $e^{x}$ .

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{x \ln (5)} + \frac{1}{\ln (5)}$