Calcolo Esempi

$[(x^{3} + x) (x^{3} - x)]$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3} + x$ e $g (x) = x^{3} - x$ .

$(x^{3} + x) \frac{d}{d x} [x^{3} - x] + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1 \cdot 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $1$ da $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1$ da $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $1$ da $(x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ per $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} (x^{3} + x) - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$3 x^{5} + 3 (x \cdot x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{5} + 3 (x^{1} x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{5} + 3 x^{1 + 2} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.3

Espandi $(3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} (x^{3} - x) + 1 (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 (x^{3} - x)$

Passaggio 3.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.3.1

Sposta $x$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.5

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} + 1 (- x)$

Passaggio 3.4.4.1.6

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} - x$

Passaggio 3.4.4.2

Somma $- 3 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$

Passaggio 3.5

Combina i termini opposti in $3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} + 0 - x$

Passaggio 3.5.2

Somma $3 x^{5} - x + 3 x^{5}$ e $0$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} - x$

Passaggio 3.6

Somma $3 x^{5}$ e $3 x^{5}$ .

$6 x^{5} - x - x$

Passaggio 3.7

Sottrai $x$ da $- x$ .

$6 x^{5} - 2 x$