Calcolo Esempi

$\frac{9}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{9}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Passaggio 4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Passaggio 4.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Passaggio 4.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Passaggio 4.6.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.4.1

$- 9$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 9}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.4.3

$6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.4.4

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Passaggio 5.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$