Calcolo Esempi

$\frac{(x + 7) x}{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = (x + 7) x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 7) x] - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 7$ e $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 7) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 7]) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 7) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 7]) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x + 7$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x \frac{d}{d x} [x + 7]) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x (1 + \frac{d}{d x} [7])) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x (1 + 0)) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x \cdot 1) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) + (- x - 1 \cdot 7) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Espandi $(x + 1) (2 x + 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x + 7) + 1 (2 x + 7) - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 7 + 1 (2 x + 7) - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.3

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 2 x + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 2 x + 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Somma $7 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - (x \cdot x) - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - x^{2} - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - x^{2} - 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 7 - 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $7 x$ da $9 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 7}{{(x + 1)}^{2}}$