Calcolo Esempi

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

Passaggio 2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

Passaggio 2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

Passaggio 2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ come ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 3.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 3.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 9.2

${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 9.3

Sposta ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 9.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 9.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 13

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 14

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 16

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 16.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 17

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Riordina i fattori di $- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.4

Moltiplica $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 18.5.1

Scomponi $- 1$ da $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Passaggio 18.5.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5.1.4

Riscrivi $- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ come $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.7

Moltiplica $- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Passaggio 18.7.1

Moltiplica $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 18.7.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$