Calcolo Esempi

$\ln (\sqrt{x})$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \ln (\sqrt{x})$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

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Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\ln (\sqrt{x})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x} > 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Semplifica.

$x > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x > 0$

Passaggio 1.2.3

Trova il dominio di $\sqrt{x}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2.3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 1.2.4

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > 0$

Passaggio 1.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 1.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 2

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $0$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Passaggio 2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Passaggio 2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = \ln (0)$

Passaggio 2.5

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

$f (0) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 3

Il punto finale dell'espressione radicale è $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . In questo caso, il punto è $(1, 0)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Passaggio 4.1.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Passaggio 4.1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . In questo caso, il punto è $(2, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 4.3

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.35 \end{array}$

Passaggio 5