Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{3 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $2 \cos (2 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Passaggio 3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{2}{3} \cos (0)$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$