Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali f(x)=8/(x^2+1)
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola multipla costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.3.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.5.1
Somma e .
Passaggio 1.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.4.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.2.1
e .
Passaggio 1.4.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.4.2.3
e .
Passaggio 1.4.2.4
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola di potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.3.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.4
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.4.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.4.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.5
Semplifica tramite esclusione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.6
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.1
Scomponi da .
Passaggio 2.6.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.6.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.7
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.8
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.9
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.10
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.10.1
Somma e .
Passaggio 2.10.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.11
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.12
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.13
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.14
Somma e .
Passaggio 2.15
Sottrai da .
Passaggio 2.16
e .
Passaggio 2.17
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.18
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.18.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.18.2
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.18.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.18.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.18.3
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.18.3.1
Scomponi da .
Passaggio 2.18.3.2
Scomponi da .
Passaggio 2.18.3.3
Scomponi da .
Passaggio 2.18.4
Scomponi da .
Passaggio 2.18.5
Riscrivi come .
Passaggio 2.18.6
Scomponi da .
Passaggio 2.18.7
Riscrivi come .
Passaggio 2.18.8
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.18.9
Moltiplica per .
Passaggio 2.18.10
Moltiplica per .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola multipla costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 4.1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 4.1.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.3.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.5.1
Somma e .
Passaggio 4.1.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 4.1.4.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.2.1
e .
Passaggio 4.1.4.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.1.4.2.3
e .
Passaggio 4.1.4.2.4
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 5.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.1
Dividi per .
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.3
Sottrai da .
Passaggio 9.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.2.2
Somma e .
Passaggio 9.2.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.3
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.2
Dividi per .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.2
Somma e .
Passaggio 11.2.2
Dividi per .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
Passaggio 13