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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola multipla costante.
Passaggio 1.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.3
Differenzia.
Passaggio 1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.3.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.5
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.3.5.1
Somma e .
Passaggio 1.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Semplifica.
Passaggio 1.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.4.2
Raccogli i termini.
Passaggio 1.4.2.1
e .
Passaggio 1.4.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.4.2.3
e .
Passaggio 1.4.2.4
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola di potenza.
Passaggio 2.3.1
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 2.3.1.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.3.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.4
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 2.4.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.4.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.4.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.5
Semplifica tramite esclusione.
Passaggio 2.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.5.2
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.6
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.6.1
Scomponi da .
Passaggio 2.6.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.6.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.7
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.8
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.9
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.10
Semplifica l'espressione.
Passaggio 2.10.1
Somma e .
Passaggio 2.10.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.11
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.12
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.13
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.14
Somma e .
Passaggio 2.15
Sottrai da .
Passaggio 2.16
e .
Passaggio 2.17
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.18
Semplifica.
Passaggio 2.18.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.18.2
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 2.18.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.18.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.18.3
Scomponi da .
Passaggio 2.18.3.1
Scomponi da .
Passaggio 2.18.3.2
Scomponi da .
Passaggio 2.18.3.3
Scomponi da .
Passaggio 2.18.4
Scomponi da .
Passaggio 2.18.5
Riscrivi come .
Passaggio 2.18.6
Scomponi da .
Passaggio 2.18.7
Riscrivi come .
Passaggio 2.18.8
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.18.9
Moltiplica per .
Passaggio 2.18.10
Moltiplica per .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola multipla costante.
Passaggio 4.1.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 4.1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 4.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 4.1.3
Differenzia.
Passaggio 4.1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.3.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.5
Semplifica l'espressione.
Passaggio 4.1.3.5.1
Somma e .
Passaggio 4.1.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Semplifica.
Passaggio 4.1.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 4.1.4.2
Raccogli i termini.
Passaggio 4.1.4.2.1
e .
Passaggio 4.1.4.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.1.4.2.3
e .
Passaggio 4.1.4.2.4
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 5.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 5.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 5.3.3.1
Dividi per .
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.3
Sottrai da .
Passaggio 9.2
Semplifica il denominatore.
Passaggio 9.2.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.2.2
Somma e .
Passaggio 9.2.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.3
Semplifica l'espressione.
Passaggio 9.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.2
Dividi per .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Semplifica il denominatore.
Passaggio 11.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.2
Somma e .
Passaggio 11.2.2
Dividi per .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
Passaggio 13