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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3
Calcola .
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Dividi per ciascun termine dell'equazione.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6
Frazioni separate.
Passaggio 7
Converti da a .
Passaggio 8
Dividi per .
Passaggio 9
Frazioni separate.
Passaggio 10
Converti da a .
Passaggio 11
Dividi per .
Passaggio 12
Moltiplica per .
Passaggio 13
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 14
Passaggio 14.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 14.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 14.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 14.2.2
Dividi per .
Passaggio 14.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 14.3.1
Dividi per .
Passaggio 15
Trova il valore dell'incognita corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.
Passaggio 16
Passaggio 16.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 17
La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da per determinare la soluzione nel quarto quadrante.
Passaggio 18
Passaggio 18.1
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 18.2
Riduci le frazioni.
Passaggio 18.2.1
e .
Passaggio 18.2.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 18.3
Semplifica il numeratore.
Passaggio 18.3.1
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 18.3.2
Somma e .
Passaggio 19
La soluzione dell'equazione .
Passaggio 20
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 21
Passaggio 21.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 21.1.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 21.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 21.2
Semplifica i termini.
Passaggio 21.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 21.2.2
Sottrai da .
Passaggio 21.2.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 21.2.3.1
Scomponi da .
Passaggio 21.2.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 21.2.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 21.2.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 21.2.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 21.2.3.2.4
Dividi per .
Passaggio 22
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 23
Passaggio 23.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 23.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 23.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 23.2.1.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 23.2.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 23.2.2
Semplifica i termini.
Passaggio 23.2.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 23.2.2.2
Somma e .
Passaggio 23.2.2.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 23.2.2.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 23.2.2.3.2
Dividi per .
Passaggio 23.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 24
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 25
Passaggio 25.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 25.1.1
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 25.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 25.1.3
Moltiplica .
Passaggio 25.1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 25.1.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 25.1.4
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 25.1.5
Il valore esatto di è .
Passaggio 25.1.6
Moltiplica .
Passaggio 25.1.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 25.1.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 25.2
Semplifica i termini.
Passaggio 25.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 25.2.2
Somma e .
Passaggio 25.2.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 25.2.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 25.2.3.2
Dividi per .
Passaggio 26
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 27
Passaggio 27.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 27.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 27.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 27.2.1.1
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 27.2.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 27.2.1.3
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 27.2.1.4
Il valore esatto di è .
Passaggio 27.2.2
Semplifica i termini.
Passaggio 27.2.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 27.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 27.2.2.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 27.2.2.3.1
Scomponi da .
Passaggio 27.2.2.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 27.2.2.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 27.2.2.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 27.2.2.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 27.2.2.3.2.4
Dividi per .
Passaggio 27.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 28
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un minimo locale
Passaggio 29