Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali f(x)=x+4/x
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1.1
e .
Passaggio 1.4.1.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.4.2
Riordina i termini.
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.2.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.2.5
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.5.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.7
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.8
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.9
Sottrai da .
Passaggio 2.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 2.4.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.1
e .
Passaggio 2.4.2.2
Somma e .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.1.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 4.1.2.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 4.1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1.1
e .
Passaggio 4.1.4.1.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.1.4.2
Riordina i termini.
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
Passaggio 5.3.2
Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.
Passaggio 5.4
Moltiplica per ciascun termine in per eliminare le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1
Moltiplica ogni termine in per .
Passaggio 5.4.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 5.4.2.1.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.2.1.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.5
Risolvi l'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 5.5.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.5.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.5.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.5.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.5.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 5.5.4
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.4.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 5.5.5
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.5.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 5.5.5.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 5.5.5.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 6.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 6.2.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 6.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 6.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.2
Dividi per .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Dividi per .
Passaggio 11.2.2
Somma e .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.2
Dividi per .
Passaggio 14
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 15
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1
Dividi per .
Passaggio 15.2.2
Sottrai da .
Passaggio 15.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 16
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
Passaggio 17