Calcolo Esempi

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

Passaggio 1

Scrivi $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2016$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2016$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x^{3} - 48 x^{2}$ e $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $2016$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2016$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $12 x^{3} - 48 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 48 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3} - 48 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) - 48 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $- 48 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4)$ .

$12 x^{2} (x - 4) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{2} (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$36 \cdot 0 - 96 \cdot 0$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$0 - 96 \cdot 0$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 96$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 10.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $12 x^{3} - 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} - 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 - 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 - 48 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 11.2.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 96 - 48 \cdot 4$

Passaggio 11.2.2.1.4

Moltiplica $- 48$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 96 - 192$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $192$ da $- 96$ .

$f' (- 2) = - 288$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $- 288$ .

$- 288$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata prima $12 x^{3} - 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Moltiplica $12$ per $8$ .

$f' (2) = 96 - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 11.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 96 - 48 \cdot 4$

Passaggio 11.3.2.1.4

Moltiplica $- 48$ per $4$ .

$f' (2) = 96 - 192$

Passaggio 11.3.2.2

Sottrai $192$ da $96$ .

$f' (2) = - 96$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $- 96$ .

$- 96$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata prima $12 x^{3} - 48 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} - 48 {(6)}^{2}$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 - 48 {(6)}^{2}$

Passaggio 11.4.2.1.2

Moltiplica $12$ per $216$ .

$f' (6) = 2592 - 48 {(6)}^{2}$

Passaggio 11.4.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = 2592 - 48 \cdot 36$

Passaggio 11.4.2.1.4

Moltiplica $- 48$ per $36$ .

$f' (6) = 2592 - 1728$

Passaggio 11.4.2.2

Sottrai $1728$ da $2592$ .

$f' (6) = 864$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $864$ .

$864$

Passaggio 11.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 4$ , allora $x = 4$ è un minimo locale.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 12