Calcolo Esempi

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Passaggio 1

Eleva $16$ alla potenza di $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$ come $\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4 x^{4} + 4$ come $2^{2} (x^{4} + 1)$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4}]$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (1)}]$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x^{4}) + 4 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4} + 1)}]$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{2^{2} (x^{4} + 1)}]$

Passaggio 2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $2$ per $65536$ .

$\frac{d}{d x} [131072 \sqrt{x^{4} + 1}]$

Passaggio 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{4} + 1}$ come ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Poiché $131072$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$131072 (\frac{{(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 11

Sposta ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$131072 (\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 12

$\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $131072$ .

$\frac{131072}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 13

Scomponi $2$ da $131072$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 ({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 15

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 17

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

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Passaggio 18.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Passaggio 18.2

$4$ e $\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \cdot 65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Passaggio 18.3

Moltiplica $4$ per $65536$ .

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Passaggio 18.4

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{262144 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$