Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 1.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Passaggio 1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Passaggio 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.4

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.3

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.18

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.20.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.22

Per scrivere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.24

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.24.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.24.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.24.3

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.24.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.25

Semplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.26

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.27

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.28

Riscrivi $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.29

Moltiplica $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 2.30

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.1

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 2.30.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.30.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.30.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.30.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ come ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.7.2

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.7.3.2

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 3.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Passaggio 3.11.3

$- 2$ e $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Passaggio 3.11.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f''' (x) = \frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Passaggio 3.11.5

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ e $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.11.6

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 3.12.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4.2

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

$\frac{5}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.9.2

$\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.12

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.13.3

$- 2$ e $\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.13.4

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.13.5

$\frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ e $x$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.17

Somma $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.18

Scomponi $2$ da $- 10 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.19.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.19.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.19.4

Dividi $- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.20

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.20.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.20.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.20.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ da $- 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.20.4

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.21

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.1

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.21.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 1) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.22

Semplifica.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 1 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.23

Sottrai $5 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.24

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.25

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{5}$ per ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.25.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.25.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.25.3

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.25.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Passaggio 4.25.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.25.5.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

Passaggio 4.25.5.2

Sottrai $3$ da $10$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.26

$- 3$ e $\frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 3 (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.27

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{(3) (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{3 (- 4 x^{2}) + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.28.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 12 x^{2} + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.28.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$