Calcolo Esempi

$\int x^{5} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{5}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{6} x^{6}) - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$\ln (x) \frac{x^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int x^{6} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x^{6}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x^{6}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x} d x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x^{5}}{1} d x)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int x^{5} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} \int x^{5} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ come $\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$ .

$\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{6}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{6} x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Passaggio 6.2.2

$\frac{\ln (x)}{6}$ e $x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} x^{6} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{36} x^{6} + C$

$\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{36} x^{6} + C$