Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{3}$ come ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Allora $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{3 - u_{1}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Passaggio 3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Allora $d u_{2} = - d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 5.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$