Calcolo Esempi

$\int \tan^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\tan (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 8.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 10

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 10.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 14

Semplifica.

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Passaggio 16

Somma $- 2 \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$